אוסף שאלות מס. 5. שאלה 1 בדוגמאות הבאות, נגדיר פונקציה על ידי הרכבה: y(t)).g(t) = f(x(t), בשתי דרכים:

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "אוסף שאלות מס. 5. שאלה 1 בדוגמאות הבאות, נגדיר פונקציה על ידי הרכבה: y(t)).g(t) = f(x(t), בשתי דרכים:"

Ανθούσα Αλεξάκης
6 χρόνια πριν
Προβολές:

1 אוסף שאלות מס. 5 שאלה 1 בדוגמאות הבאות, נגדיר פונקציה על ידי הרכבה: y(t)).g(t) = f(x(t), חשבו את הנגזרת (t) g בשתי דרכים: באופן ישיר: על ידי חישוב ביטוי לפונקציה g(t) וגזירה שלו, בעזרת כלל השרשרת. בידקו שהתוצאות המתקבלות זהות. א. xy. x(t) = e t, y(t) = cos(t), f(x, y) = ב. x(t) = 3t 2, y(t) = t 3, f(x, y) = e xy ג..x(t) = t, y(t) = t, f(x, y) = xe x2 +y 2 שאלה 2 נגדיר פונקציות f(x, y) = 2x 2 y 2, x(t, s) = 2s + 5t, y(t, s) = 3ts ונגדיר את ההרכבה g(t, s) = f(x(t, s), y(t, s)). חשבו את הנגזרות החלקיות g t (t, s), g s (t, s) בשתי דרכים: באופן ישיר: על ידי חישוב ביטוי לפונקציה (s g(t, וגזירה שלו, בעזרת כלל השרשרת. בידקו שהתוצאות המתקבלות זהות. 1

2 שאלה 3 אם (y f(x, פונקציה גזירה ברציפות, ומגדירים פונקציה חדשה g(u, v) = f(u 2, uv), חשבו את הנגזרות החלקיות v) g u (u, v), g v (u, במונחי הנגזרות החלקיות של.f שאלה (y 4 f(x, פונקציה גזירה ברציפות בסביבת הנקודה (3,3) וידוע ש: מגדירים פונקציה חדשה f(3, 3) = 2î + 1ĵ g(u, v) = f(u + v, u 2 v 2 ), חשבו את (1,2)g. שאלה 5 הפונקציה 100 T (x, y, z) = 2 + x 2 + y 2 + z 2 מייצגת את הטמפרטורה בנקודות שונות במרחב. הפונקציה מייצגת את מיקומה של דבורה בזמן t. r(t) = (t cos(πt), t sin(πt), t) א. מה מייצגת הפונקציה ( r(t))?g(t) = T מה מייצג המספר (3) g? ב. חשבו את (3) g בשתי דרכים: חישוב ישיר על ידי גזירת הביטוי המפורש של,g(t) ובאמצעות כלל השרשרת. בידקו שהתוצאות המתקבלות זהות. שאלה 6 אם (z f(x,,y פונקציה גזירה ברציפות, ומגדירים פונקציה g(s, t) = f(2t + s, 3s, 2s t), חשבו את הנגזרות החלקיות של g במונחי הנגזרות החלקיות של f. שאלה 7 מטרת השאלה הזו להוכיח את כלל הגזירה של לייבניץ מחדו"א 1 על ידי שימוש בכלל השרשרת. [f(t)g(t)] = f (t)g(t) + f(t)g (t), א. נגדיר:.h(x, y) = xy חשבו את הנגזרת של g(t)) h(f(t), בעזרת כל השרשרת וקבלו את כלל לייבניץ. ב. השתמשו ברעיון דומה כדי להוכיח את הנוסחה לנגזרת של מנה. f(t) g(t) 2

3 שאלה 8 מטרת השאלה הזו להראות שאם פונקציה אינה דיפרנציאבילית אז כלל השרשרת אינו תקף. נגדיר פונקציה { xy 2 (x, y) (0, 0) x f(x, y) = 2 +y 2 0 (x, y) = 0 א. חשבו את הנגזרות החלקיות של הפונקציה בנקודה 0),(0, כלומר 0) (0, y,f x (0, 0), f בעזרת ההגדרה של נגזרת חלקית. ב. נגדיר פונקציה g(t) = f(t, 2t). חשבו את הערך (0) g בשתי דרכים: בעזרת כלל השרשרת, וחישוב ישיר בעזרת הגדרת הנגזרת, והראו שהתוצאה המתקבלת מכלל השרשרת אינה נכונה. שאלה 9 נתונה הפונקציה.f(x, y) = ln(xy) + 3x + 2y בנקודה 2),(3, א. מהו הכיוון שבו קצב העליה של הפונקציה הוא הגדול ביותר? מצאו ווקטור יחידה בכיוון זה. ב. מצאו כיוון שבו קצב השינוי של הפונקציה הוא 0. שאלה 10 מצאו משוואה של המישור המשיק למשטח xy 2 + 3x z 2 = 8 בנקודה 2) 3,.(1, שאלה 11 מצאו הצגה פרמטרית עבור הישר המאונך למשטח x 2 2y 2 3z 2 + xyz = 4 בנקודה 1) 2,.(3, שאלה 12 מצאו הצגה פרמטרית עבור הישר המשיק לעקום החיתוך של הגלילים = 25 2 x 2 + z ו = 25 2 y 2 + z בנקודה 4).(3, 3, 3

4 שאלה 13 מצאו מישורים שמשיקים לאליפסואיד = 9 2 x 2 + 4y 2 + z ומאונכים לישר המוגדר על ידי הפרמטריזציה 2t). r(t) = (2 4t, 1 + 8t, 3 שאלה 14 מצאו נקודות על ההיפרבולואיד = 1 2 x 2 + 4y 2 z שבהן המישור המשיק מקביל למישור = 0 z.x + 4y שאלה 15 א. חשבו את הנגזרת המכוונת של הפונקציה f(x, (y = 3xy x 2 y 3 בנקודה 1),(1, בכיוון הווקטור. v = 2î + 3ĵ ב. מה היא הנגזרת המכוונת באותה נקודה בכיוון מנוגד לווקטור v? ג. האם הפונקציה עולה או יורדת כאשר נעים מהנקודה (1,1) בכיוון הווקטור? v = 2î + 3ĵ שאלה 16 נתונה הפונקציה.f(x, (y = xy אם נמצאים בנקודה (0,2), מהם הכיוונים בהם קצב השינוי של הפונקציה הוא 1? מהם הכיוונים בהם קצב השינוי הוא 2? מהם הכיוונים בהם קצב השינוי הוא 3? f(x, y) = xy. שאלה 17 נתונה הפונקציה א. חשבו את הנגזרות החלקיות של הפונקציה בנקודה (0,0) בעזרת ההגדרה של מושג הנגזרת החלקית. ב. חשבו את הנגזרת המכוונת של הפונקציה בנקודה (0,0) בכיוון הווקטור v, = î + ĵ בעזרת ההגדרה של הנגזרת המכוונת. ג. לאור התוצאות שקיבלתם בסעיפים הקודמים, הראו שבדוגמה זו אי אפשר לחשב את הנגזרת המכוונת על ידי הביטוי f v (x, y) = f(x, y) v v, והסבירו מדוע דבר כזה יכול לקרות. שאלה 18 נתונה הפונקציה.f(x, y, z) = x 2 + y 2 z 2 בנקודה c),(a, b, באיזה כיוון קצב העליה של הפונקציה הוא מקסימלי, ומהו קצב זה? 4

5 שאלה 19 גובה של הר מעל לנקודה (y,x) במישור מתואר על ידי z = h(x, y) = 5000 x y2 250 (כל הגדלים נמדדים במטרים). א. היכן נמצאת נקודת השיא (הנקודה הגבוהה ביותר בהר), ומה גובהה? ב. מטפסת הרים נמצאת בנקודה (4390,500).,300 מה יהיה השיפוע שבו תטפס אם תנוע בכיוון של נקודת השיא? ג. אם המטפסת רוצה לנוע בשיפוע המקסימלי האפשרי, באיזה כיוון עליה לנוע? מה יהיה שיפוע הטיפוס בכיוון זה? שאלה 20 מצאו דוגמה לפונקציה (y f(x, שאינה קבועה, שהנגזרת המכוונת שלה y) f v (x, בכיוון הווקטור v = î + ĵ מתאפסת בכל נקודה במישור. שאלה 21 נתונה הפונקציה f(x, y) = 8y 1 + x 2 + y 2. א. מצאו ווקטור מאונך לקו הרמה = 2 y) f(x, בנקודה 2) 3, ( =.P ב. מצאו ווקטור משיק לקו הרמה = 2 y) f(x, בנקודה 2) 3, ( =.P ג. הראו, על ידי שימוש בביטוי לפונקציה, שקו הרמה = 2 (y f(x, הוא מעגל. בעזרת עובדה זו, בידקו ישירות שהווקטור שמצאתם בסעיף ב' משיק לקו הרמה בנקודה P. שאלה 22 בנקודה 95) (1, 1, שעל המשטח ) 5 z = 100 (x 3 + 3xy + y נשים גולה. א. מהו הכיוון במישור xy שבו תתחיל הגולה להתגלגל. מצאו ווקטור יחידה בכיוון זה. ב. מהו הווקטור במרחב שמתאר את כיוון התנועה ההתחלתי של הגולה? שאלה 23 בשאלה זו נניח ש (y g(x, y),f(x, פונקציות ממחלקה C 1 בסביבת נקודה ) 0.(x 0, y ושהנקודה ) 0 (x 0, y נמצאת על קו הרמה f(x, y) = c 1 וגם על קו הרמה (x 0, y 0 ) {(x, y) f(x, y) = c 1 } {(x, y) g(x, y) = c 2 }.,g(x, y) = c 2 כלומר 5

6 f(x 0, y 0 ) 0, g(x 0, y 0 ) 0. נניח גם ש א. הראו ששני קווי הרמה f(x, y) = c 1, g(x, y) = c 2 משיקים אחד לשני בנקודה ) 0 (x 0, y אם ורק אם מתקיים ( ) fx (x det 0, y 0 ) f y (x 0, y 0 ) = 0. g x (x 0, y 0 ) g y (x 0, y 0 ) f(x 0, y 0 ) = (1, 3), g(x 0, y 0 ) = ( 3, 1), ב. אם ידוע ש מהי זווית החיתוך בין שני קווי הרמה f(x, y) = c 1, g(x, y) = c 2 בנקודה ) 0?(x 0, y שאלה 24 א. סרטטו באותו מישור את משפחת קווי הרמה של הפונקציה f(x, (y = xy ואת משפחת קווי הרמה של הפונקציה.g(x, y) = x 2 y 2 ב. הוכיחו ששתי המשפחות הללו אורתוגונליות אחת לשניה. הכוונה היא שבכל נקודה ) 0 x) 0, y במישור, אם נסתכל על קווי הרמה של שתי הפונקציות העוברים דרך הנקודה הזו, נקבל שני עקומים המאונכים אחד לשני (כלומר המשיקים להם בנקודה הנ"ל מאונכים). f(x, (y = y אורתוגונלית x 2 שאלה 25 הוכיחו שמשפחת קווי הרמה של הפונקציה למשפחת קווי הרמה של הפונקציה.g(x, y) = x 2 + 2y 2 שאלה 26 הוכיחו את כלל הגזירה הבא, עבור מכפלה של פונקציות של שני משתנים (בדרך דומה אפשר להוכיח לכל מספר משתנים): (fg) = f g + g f. שאלה 27 אם פונקציה y) f(x, מקיימת 0 = y) f(x, לכל y) (x, בעיגול < 1 2,x 2 +y הוכיחו שהפונקציה קבועה בעיגול, כלומר קיים ערך c כך ש f(x, (y = c בכל נקודה בעיגול. x2 העוברים דרך שאלה 28 מצאו את הזווית בין שני המשיקים לאליפסה = 1 y2 + 4 הנקודה (3,2) = P (שמחוץ לאליפסה). (זוהי "זווית הראיה" שבה רואה אדם העומד בנקודה P את האליפסה). 6

Σχετικά έγγραφα

סיכום בנושא של דיפרנציאביליות ונגזרות כיווניות

סיכום בנושא של דיפרנציאביליות ונגזרות כיווניות 25 בדצמבר 2016 תזכורת: תהי ) n f ( 1, 2,..., פונקציה המוגדרת בסביבה של f. 0 גזירה חלקית לפי משתנה ) ( = 0, אם קיים הגבול : 1 0, 2 0,..., בנקודה n 0 i f(,..,n,).lim